数学笔记-第一章-极限

极限是学习高等数学的第一个知识点 , 这一章学习极限 , 主要就是学习计算极限.而计算极限最重要的一步 , 也是第一步 , 就是判断极限的型.

极限的型

极限的型可以粗略地分为4种 , 分别为 : \[ \frac cc=C , \frac 0c=0 , \frac c0=\infty , \frac 00=未定型 \] 所谓的未定型 , 就是结果是未知的 , 不可预料的 , 而前面三种的答案都是唯一固定的 , 所以考试只会考未定型.

计算极限的方法

这里的方法细分可以分为9种 , 有一些方法在以后学了更高级的方法后就没用了 , 但也是用来打基础的.

1.利用连续求极限

用于\(x\)在\(f\left(x\right)\)内有意义的\(\frac cc\)题型

简单来说 , 就是直接将x代入题目.

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac1{x-1}=1 \] 因为\(x=2\)在\(f\left(x\right)\)上有意义 , 直接代入就可以了.

2.利用无穷小与无穷大的关系求极限

解决\(\frac\infty\infty\)型有理函数的题型

无穷小于无穷大的关系 : \[ \frac 10=\infty , \frac 1\infty=0 \] 由于无穷大\(\infty\)是不允许参与极限的四则运算的 , 因此一个题目如果出现了无穷大必须变成无穷小才可以运算.

要把\(\infty\)转变为0 , 方法是把无穷\(\infty\)放到分母 , 也就是分子分母同时除以\(x\)的最高次幂.

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+2}x \] 由于\(x\)的最高次幂是1次就让分子分母同时除以\(x\) , 变成 : \[ \frac{3x+2}x=3+\frac2x \] \[ \because\frac 2\infty=0 \] \[ \therefore\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+2}x=3 \] 这个方法 , 是解决这类型题目的通用方法 , 但是我们还有一些小技巧 , 去快速得到结果的那就是 :

当遇到\(\frac\infty\infty\)型有理函数时 - 当分子最高次幂与分母最高次幂相同时 , 极限值是各个最高次幂的系数和之商 - 当分子最高次幂小于分母时 , 极限为0 - 当分子最高次幂大于分母时 , 极限为\(\infty\) - 口诀 : 上大无穷下大零

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+2}x \] \(x\)最高次幂1次 , 结果是\(x\)的系数和的商 , 就是\(\frac31=3\)

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(2x-1\right)^{30}\left(3x-2\right)^{20}}{\left(2x+1\right)^{50}} \] 分子的最高次幂是\(x^{30}\cdot x^{20}=x^{50}\) , 分母最高也是50次幂 , 不用算 , 答案就是系数和商 : \[ =\frac{2^{30}\cdot3^{20}}{2^{50}}=\left(\frac32\right)^{20} \]

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+x}{x^4-3x^3+1} \] 最高次幂是4次 , 分母比分子大 , 答案就是0.

例如 : \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n+2\right)^3+\left(2n+3\right)^3}{\left(n-1\right)\left(2n-1\right)\left(3n-3\right)} \] 分子最高3次 , 分母各个\(n\)乘了之后也是3次 , 看系数 , 分子第一个\(n\)的系数是1 , 第二个\(n\)的系数是\(2^3=8\) , 相加是9;分母系数为6 , 所以答案就是\(\frac96=\frac32\)

例如 : \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{5n^3} \] 答案就是\(\frac15\)

这个方法非常好用 , 但是要注意的是 , 首先要判断题目是不是\(\frac\infty\infty\)型有理函数 , 否则不能直接这样使用 , 而且虽然通过奇技淫巧一眼看出答案 , 但是考试时除以\(x\)的最高次幂这个过程还是要写的.

题外话 : 如何将变形体转化为四大类型

考试的时候很多情况下不会直接考四大型的原型 , 而是考它们的变形体 , 因此我们最终目的都是要把这些变形体改变成四大类型.

而其中最常见的变形体有两种 : \[ \infty-\infty型 , 即一个无穷减去一个无穷的形式 \]

\[ 0\times\infty型 , 即一个0与一个无穷相乘的形式 \]

遇到\(\infty-\infty型\)这种情况 , 通常会有两种形式 , 对应两种解法 :

• 有根号 , 要有理化
• 无根号 , 要通分

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}) \] 这道题就是 , 一个无穷减去另一个无穷的题型 , 也就是\(\infty-\infty型\) , 并且有根号 , 所以按照解法 , 就是有理化 , 通过平方差公式将\(\infty-\infty\)转变成\(\frac\infty\infty\) : \[ =\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}} \] 这个时候就变成了上面说的\(\frac\infty\infty\)型有理函数了 , 直接用奇技淫巧 , 看\(x\)最高次幂 , 分子和分母都是1次 ,

注意分母的根号 , 这里\(x\)开了根号后是1次 , 不是2次

当分子最高次幂与分母最高次幂相同时 , 极限值是各个最高次幂的系数之商 : \[ =\frac2{1+1}=1 \] 例如 : \[ \lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac1{1-x}-\frac3{1-x^3}\right) \] 对于没有根号的\(\infty-\infty型\) , 就需要进行通分 : \[ =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+x+x^2-3}{1-x^3} \] 这个时候代入\(x=1\)就变成了\(\frac 00=未定型\) , 还得继续进行约分.如果因为\(x\rightarrow 1\)而导致一个极限是\(\frac 00\) , 说明\(\left(x-1\right)\)一定是这个方程的一个根 , 也就是说 , 分子和分母一定可以同时消去一个\(\left(x-1\right)\) , 这可以为约分提供一个切入的思路. \[ =\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)} \]

\[ =-\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+2}{1+x+x^2}=-1 \]

这时候就直接变成\(\frac cc\) , 代入\(x\rightarrow 1\) , 结果就出来了 , 等于\(-1\)

遇到\(0\times\infty型\)这种情况 , 就更简单了 , 因为无穷大和无穷小之间可以相互转化 : \[ 0\times\infty=\frac1\infty\times\infty=\frac\infty\infty \]

\[ 0\times\infty=\frac10\times0=\frac00 \]

所以我们遇到\(0\times\infty型\)时只要通过转换 , 把任意一个变成分母 , 就可以变成标准型了.

3.利用极限存在的充要条件求极限

解决分段函数的分段点的极限问题

极限存在的充要条件求极限 : > 如果函数在该点的极限存在 , 则该点的左右极限存在并且相等 > 这句话说明 , 通过充要条件 , 满足下面三点 , 即极限存在 : > > - 左极限存在 > - 右极限存在 > - 两者相等

例如 : \[ 设f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x+2 , x\leq0\\x^2+1 , 0<x\leq1\\\frac2x , 0<x\end{array}\right. \]

\(分别讨论x\rightarrow 0以及x\rightarrow 1时f(x)的极限是否存在\)

使用极限存在的充要条件 : \[ 当x\rightarrow 0时 \]

\[ 左极限 :\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^-}\left(3x+2\right)=2 \]

\[ 右极限 :\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+1\right)=1 \]

\[ \because\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\neq\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right) \]

\[ \therefore\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)不存在 \]

\[ 当x\rightarrow 1时 \]

\[ 左极限 :\lim_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1^-}\left(x^2+1\right)=2 \]

\[ 右极限 :\lim_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1^+}\left(\frac2x\right)=2 \]

\[ \because\lim_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\neq\lim_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right) \]

\[ \therefore\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)存在 \]

注意 : 分段函数分为显分段和隐分段 , 显分段是直接可以看出来的 , 就像上面那题 , 一眼看出是分段函数 , 但是隐分段函数可能不能一下子被想起来 , 例如下面两种形式 , 要意识到是分段函数 : - 绝对值函数 - \(a^\infty\)对于\(+\infty\)和\(-\infty\)有区别 , 例如\(\left(\frac12\right)^\infty\) , 当是\(+\infty\)时 , 极限是0 ; 当是\(-\infty\)时 , 极限是无穷大.

4.利用夹逼准则求极限(冷门)

解决数列和与含有n次方阶乘的极限问题

数列和的极限问题有4种 : > - 等差数列求极限 > - 等比数列求极限 > - 可以裂项数列求极限 > - 夹逼准则求极限

一个题目只有当前面三种数列形式都不符合时 , 才使用最后一个夹逼准则求极限.

例如 :

等差数列 : \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+2+3+\dots+\left(n-1\right)}{n^2} \] 有通项公式 : \[ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{\left(n-1\right)\left(n-1+1\right)}2}{n^2}=\frac 12 \] 例如 :

等比数列 : \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac12+\frac1{2^2}+\dots+\frac1{2^n}\right) \] 有通项公式 : \[ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac1{2^{n+1}}}{1-\frac12}=2 \] 上面两种题型 , 就是等差与等比数列 , 有直接的解法 , 并不需要使用夹逼准则.

夹逼准则 : 如果数列\(x_n\) , \(y_n\) , \(z_n\)满足下列条件 :

• \(y_n\leq x_n\leq z_n\) \((n=1 , 2 , 3 , \dots)\)
• \(\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=a\)

那么数列\(x_n\)的极限存在 , 且\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\)

夹逼准则的使用方法是 :

左边数列\(y_n\)要取所有的最小项 , 右边数列\(z_n\)取所有的最大项.

例如 : \[ \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac1{n^2+\pi}+\frac1{n^2+2\pi}+\dots+\frac1{n^2+n\pi}\right) \] 按照上面说的夹逼准则的使用方法 , 左边选择这个数列的最小项 , 右边选择这个数列的最大项 \[ 当x\rightarrow \infty , 最小项为y_n=\frac1{n^2+n\pi} , 最大项为z_n=\frac1{n^2+\pi} \]

\[ \therefore n\cdot\frac1{n^2+n\pi}\leq n\left(\frac1{n^2+\pi}+\frac1{n^2+2\pi}\right)\leq n\cdot\frac1{n^2+\pi} \]

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(n\cdot\frac n{n^2+n\pi}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{1+\frac\pi n}=1 \]

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}z_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(n\cdot\frac n{n^2+\pi}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{1+\frac\pi {n^2}}=1 \]

\[ \because\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim_{n\rightarrow\infty}z_n=1 \]

\[ \therefore\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac1{n^2+\pi}+\frac1{n^2+2\pi}+\dots+\frac1{n^2+n\pi}\right)=1 \]

注意 : 夹逼准则只用来解决数列问题 , 函数问题会有比夹逼准则更好的方法 , 所以函数问题不要用夹逼准则.

5.利用重要极限一求极限

解决\(\frac\infty\infty型\)三角函数极限问题

重要极限一公式 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\sin X}X\right)=1 \]

\[ \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\tan X}X\right)=1 \]

\[ \lim_{x\rightarrow0}\left(\frac X{\sin X}\right)=1 \]

这里的\(X\)可以指一个\(f(x)\)整体 , 例如分子假如是\(\sin 3x\) , 那么如果分母也一样是\(3x\) , 那结论一样正确.

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin2x}{x+\sin2x} \]

\[ =\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\frac{\sin2x}x}{1+\frac{\sin2x}x} \]

这里\(\sin\)后面是\(2x\) , 但是分母只有一个\(x\) , 所以得让分子和分母变为相同 : \[ =\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-2\frac{\sin2x}{2x}}{1+2\frac{\sin2x}{2x}} \] 此时使用重要极限一 : \[ =\frac {1-2}{1+2} \]

6.利用重要极限二求极限(重要)

主要解决幂指函数的极限问题

幂指函数 : 指底数是变量 , 指数也是变量的函数 , 例如 :

• \(x^x\)
• \(xln\left(x\right)\)
• \(\sqrt[x]x\)

都是幂指函数的常见形态

重要极限二公式 : \[ \lim_{X\rightarrow\infty}\left(1+\frac1X\right)^X=e \]

\[ \lim_{X\rightarrow0}\left(1+X\right)^\frac1X=e \]

一个求极限题目 , 必须是1加无穷小的无穷大次方型 , 才能使用上述的重要极限二公式.

这种题型的解法比较单一 , 就是要配出1+ , 然后按照上面两个公式去凑就行了.

例如 : \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+3} \] 首先判断当\(x\rightarrow \infty\)时 , 是不是1加无穷小的无穷大次方 , 发现是 , 所以用重要极限二公式来解决.

由题目可知 , 重要极限二公式中的\(X\)是\(n\) , 但是指数部分是\(n+3\) , 所以要变成\(n\) : \[ =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n\times\frac1n\times(n+3)} \]

\[ =\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\frac1n\left(n+3\right)} \]

\[ =e^1 \]

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\left(1-2x\right)^\frac1x \] 也是要配出一个1加无穷小的无穷大次方 : \[ =\lim_{x\rightarrow0}\left(1+\left(-2x\right)\right)^{\frac1{-2x}(-2x){(\frac 1x})} \] 这时候使用重要极限二 : \[ =\lim_{x\rightarrow0}e^{\frac1x\left(-2x\right)}=e^{-2} \] 例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac kx\right)^x \] 也要配出1加无穷小的无穷大次方 : \[ =\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac kx\right)^\frac xk\right]^k \] 这时候使用重要极限二 : \[ =e^k \] 例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x^2}{x^2-1}\right)^x \] 配出1加无穷小的无穷大次方 : \[ =\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac1{x^2-1}\right)^x \] 此时指数和分母仍然不一致 , 继续变 : \[ =\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac1{x^2-1}\right)^{x^2-1}\right]^\frac x{x^2-1} \]

\[ =e^0=1 \]

7.下落不明

8.利用有界函数与无穷小相乘仍为无穷小求极限

主要解决下面4种有界函数的极限 : - \(sin\infty\) - \(cos \infty\) - \(arctan\infty\) - \(arccot \infty\)

上述四种函数都是有界函数 , 它们与0相乘 , 结果就是0

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}x \]

\[ \because当x\rightarrow\infty时 , \frac 1x是无穷小量 , \sin x是有界量 \]

\[ \therefore\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}x=0 \]

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\arctan x}x \]

\[ \because当x\rightarrow\infty时 , \frac 1x是无穷小量 , \arctan x是有界量 , \left|\arctan\;x\right|<\frac\pi2 \]

\[ \therefore\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\arctan x}x=0 \]

9.利用等价求极限

只适用于无穷小的题型

等价无穷小 : 默认\(A\) , \(B\)是无穷小函数 , 即为0 , 则当\(\lim\left(\frac AB\right)=1\)时称做\(A\) , \(B\)等价无穷小. 在此前提下当\(x\rightarrow 0\) , 有以下等价关系 : - \(\sin x\rightleftharpoons x\) - \(\tan x\rightleftharpoons x\) - \(\arcsin x\rightleftharpoons x\) - \(\arctan x\rightleftharpoons x\) - \(1-\cos x\rightleftharpoons\frac12x^2\) - \(\ln\left(1+x\right)\rightleftharpoons x\) - \(\left(1+x\right)^2-1\rightleftharpoons ax , 其中a \neq 0且为常数\) - \(e^x-1\rightleftharpoons x\) - \(a^x-1\rightleftharpoons x\ln a , 其中a>0\)

这里的\(x\)不单单指\(x\) , 也可以指一个\(f(x)\)整体 , 即\(\sin f(x)\rightleftharpoons f(x)\)

学习了等价变换之后 , 很多题目就变得简单起来了.

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\arctan 3x}{5x} \] \[ \because \arctan 3x\rightleftharpoons 3x \] \[ \therefore=\lim_{x\rightarrow0}\frac{3x}{5x}=\frac 35 \]

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(\sin x^3\right)\tan x}{1-\cos x^2} \]

\[ \because \tan x\rightleftharpoons x , \sin x^3\rightleftharpoons x^3 , 1-\cos {(x^2)}\rightleftharpoons\frac12{(x^2)}^2 \]

\[ \therefore=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^3\times x}{\frac12\left(x^2\right)^2}=2 \]

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+3x\sin x\right)}{\tan x^2} \]

\[ =\lim_{x\rightarrow0}\frac{3x\sin x}{x^2} \]

\[ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2}{x^2}=3 \]

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{5x}-1}x \]

\[ =\lim_{x\rightarrow0}\frac{5x}x=5 \]

等价求极限是一个非常强大的方法 , 但是在用的时候必须注意的两个点 : - 使用等价之前一定要看清楚是不是无穷小 - 满足上一个条件的情况下 , 等价只能用于乘除 , 不能用于加减 , 遇到加减必须转换成乘除

例如 : \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^32x} \]

\[ 当x\rightarrow0时 , \tan x\rightleftharpoons x , \sin x\rightleftharpoons x \]

\[ \therefore原式等价于\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-x}{\left(2x\right)^3}=0 \]

上述方法是绝对的错误的!!!

这就是上面说的 , 等价求极限 , 只能用于乘除 , 不能用于加减.

正确方法是先得将加减转换成乘除 : \[ \because\tan x-\sin x=\tan x\left(1-\cos x\right)\rightleftharpoons\frac12x^3 , \sin2x\rightleftharpoons2x \]

\[ \therefore\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^32x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac12 x^3}{\left(2x\right)^3}=\frac 1{16} \]

结束

高数第一章是比较有意思的一章 , 大一新生高考完还有点学习的劲头 , 赶紧假装努力奋斗一下吧 , 后面的课你就没啥激情了.