数学笔记-第一章-连续函数闭区间三大定理

发表于 2019-12-27 更新于 2021-07-29 分类于数学笔记，第一章

最值定理

若 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 , 则 $y$ 在 $[a, b]$ 上总有最大值和最小值.

零点定理

若 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 连续 , 且 $f (a)$ 和 $f (b)$ 异号 , 即 $f (a) \cdot f (b) < 0$ , 则在 $[a, b]$ 中至少存在一点 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = 0$ , 即图像与 $x$ 轴至少有一个交点 .

零点定理的作用

三大定理的作用都是用来解决证明题的 , 包括第三章的中值定理 , 和第五章定积分那里 , 整个第一学期能考证明题的只有这三个地方.

零点定理主要是用来解决需要证明一切关于 $ξ$ 为0的证明题.

关于 $ξ$ 的意思就是一切与 $ξ$ 有关的东西

例如 : $证明在 (a, + \infty) 上至少有一点 ξ, 使 f (ξ) 为 0.$ 这就叫关于 $ξ$ 为0.

注意 : 只要是可以移项的 $ξ$ , 把 $ξ$ 移项 , 仍叫关于 $ξ$ 为零

例如 : $证明 \exists ξ \in (a, b), 使得 f (ξ) = ξ$ 这里的 $ξ$ 只要被移动到左边 , 变成 $f (ξ) - ξ = 0$ , 依然是关于 $ξ$ 为0的题目 , 仍然使用零点定理来证明.

用零点定理解决证明问题 , 要紧紧记住零点定理的内容.根据零点定理的内容 , 证明分为4步 :

构造一个 $F (x)$ 函数
说明这个函数连续
得到两个闭区间端点异号
说明存在 $ξ$

初等函数(高中函数)在定义域内都连续 , 不需要什么理由 , 直接写就行了.

证明 : $令 F (x) = f (x) - x, 则 F (x) 在 [a, b] 上连续$

$而 F (a) = f (a) - a < 0$

$F (b) = f (b) - b > 0$

$∴由零点定理, \exists ξ \in (a, b), 使得$

$F (ξ) = f (ξ) - ξ = 0, 即 f (ξ) = ξ$

注意 : 如果等式的右边是常数 , 那么只要将常数移到左边 , 仍是关于 $ξ$ 为零的题目

例如 : $证明 \exists ξ \in (a, b), 使得 f (ξ) = 1$ 这里的1只要被移动到左边 , 变成 $f (ξ) - 1 = 0$ , 依然是关于 $ξ$ 为0的题目 , 仍然使用零点定理来证明.

用零点定理解题的一个比较常用的出题方向是证明有根问题.

例如 : $证明方程 x^{5} - 3 x = 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间$ 这道题就很明显属于证明有根问题 , 解法还是按照上面说的4步.

证明 : $令 F (x) = x^{5} - 3 x = 1, 则 F (x) 在 [1, 2] 上连续$

$∵ F (1) = - 3 < 0, F (2) = 25 > 0$

$∴由零点定理可知, 至少存在一点 ξ \in (1, 2), 使得 F (ξ) = 0$

$即方程 x^{5} - 3 x = 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间$

例如 : $证明方程 x = a \sin x + b, (a > 0, b > 0)$

$至少有一个正根, 且它不超过 a + b$

证明 : $令 F (x) = x - a \sin x - b, 则 F (x) 在 [0, a + b] 上连续$

$F (0) = 0 - a \sin 0 - b = - b < 0$

$F (a + b) = a + b - a \sin (a + b) - b = a [1 - \sin (a + b)] ⩾ 0$

$∴如果 F (a + b) = 0, 则 a + b 就是方程不超过 a + b 的正根$

$如果 F (a + b) > 0, 在 (0, a + b) 内至少存在一个不超过 (a + b) 的正根$

例如 : $证明 y = x^{4} - 3 x^{2} + 7 x - 10 在 x = 1 和 x = 2 之间至少与 x 轴有一个交点$ 这道题也是很明显需要使用零点定理 , 因为也相当于是证明有根问题.

证明 : $函数 y = x^{4} - 3 x^{2} + 7 x - 10 在 [1, 2] 上连续$

$y (1) = - 5 < 0, y (2) = 8 > 0$

$由零点定理可知, 至少存在一点 ξ \in (1, 2) 使 y (ξ) = 0$

$∴ y = x^{4} - 3 x^{2} + 7 x - 10 在 x = 1 和 x = 2 之间至少与 x 轴有一个交点$

换另一种问法 , 也得意识到需要用零点定理来解决.

例如 : $设 f (x) = e^{x} - 2, 求证在区间 (0, 2) 内至少有一点 x_{0}$

$使得 e^{x} - 2 = x_{0}$

证明 : $令 F (x) = e^{x} - 2 - x, 则 F (x) 在 [0, 2] 上连续$

$F (0) = - 1 < 0, F (2) = e^{2} - 4 > 0$

$由零点定理可知, 至少存在一点 x_{0} \in (1, 2) 使 F (x_{0}) = 0$

$即 e^{x_{0}} - 2 = x_{0}$

下面这一段内容 , 到了后面学了罗尔定理才用得上 , 可以先跳过 , 学到了罗尔定理才回来看.

如何分辨证明题要用零点定理还是罗尔定理来证明?

零点定理和后面学到的罗尔定理都是证明关于 $ξ$ 为零的 , 所以尤其困难的一点是如何分辨一道题该用零点定理还是罗尔定理去解决.

判断的方法是 :

看已知函数和结论函数之间有没有导数的增加 , 例如 :

已知 $f (x)$ , 证明 $f^{'} (x)$

已知 $f^{'} (x)$ , 证明 $f^{″} (x)$

已知 $f (x)$ , 证明 $f^{″} (x)$

都属于有导数的增加 , 都使用罗尔定理.

而

已知 $f (x)$ , 证明 $f (x)$

已知 $f^{'} (x)$ , 证明 $f^{'} (x)$

已知 $f^{″} (x)$ , 证明 $f^{″} (x)$

都没有导数的增加 , 都使用零点定理.

介值定理

若 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 连续 , 且在区间端点取不同的函数值 $f (a) = A, f (b) = B$ , 则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $U$ , 在开区间 $(a, b)$ 内至少有一个点 $c$ 使得 $f (c) = U$ .

介值定理的作用

介值定理是用来解决证明关于 $ξ$ 不为零的题目 , 这里的关于 $ξ$ 不为零与零点定理做比较就能理解 , 首先关于 $ξ$ 这三个字上面已经解释过了 , 这里的不为零的意思是函数的右边是一坨与 $ξ$ 无关的式子 , 而且无法与 $ξ$ 融合的东西 , 例如 : $f (ξ) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$

这样的函数 , 右边完全没有 $ξ$ , 也不是常数 , 也不能移项 , 也不能够与 $f (ξ)$ 融合 , 与 $ξ$ 符号毫无关系 , 这样的题目 , 就是用介值定理来解决.

介值定理证明题的解题步骤 , 基本也分为3步 :

引入最值定理 , 说明函数一定存在一个最小值 $m$ 和最大值 $M$
用待证明等式右边的式子(如上述的 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ )构造出一个 $m \leq右边式子\leq M$ 的结论
回顾我们的介值定理的内容 , 这时候其实就可以得到证明结果了

整个过程看似很简单 , 但是到底是如何得到结论的 , 可以回顾一下介值定理的内容 :

若 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 连续 , 且在区间端点取不同的函数值 $f (a) = A, f (b) = B$ , 则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $U$ , 在开区间 $(a, b)$ 内至少有一个点 $c$ 使得 $f (c) = U$ .

介值定理说 , 在 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个 $U$ , 在开区间 $(a, b)$ 之内都一定会有一个 $c$ 使得 $f (c) = U$ .

因此假设想要使用介值定理 , 就必须构造出介值定理所需要的东西 , 只要这些东西都齐全了 , 就可以使用介值定理了 :

$f (a) = A, f (b) = B$ , 对应上面步骤的最小值 $m$ 和最大值 $M$ , 因为由最值定理得知 , 每一个函数在 $[a, b]$ 内必有最大值或者最小值 , 所以我们通过拿一个一定存在的最小值 $m$ 和最大值 $M$ , 代替了 $f (a) = A, f (b) = B$ .

第二步 , 只要用待证明的等式右边构造出一个 $m \leq等式右边\leq M$ , 那这个格式刚好就对应介值定理里面 :

对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $U$

这个格式.

上面两步 , 就满足了构造出介值定理所需要的东西 , 所以就可以得到介值定理的结论 :

一定存在一个点 $ξ$ , 使得 $f (ξ) = U$

例如 : $证明若 f (x) 在 [a, b] 上连续, a < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} < b,$

$则在 [x_{1}, x_{n}] 上必有 ξ, 使得 f (ξ) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$

证明 :

第一步 , 引入最值定理 , 得到最大值和最小值 : $根据最值定理, 知 f (x) 在 [x_{1}, x_{n}] 上存在最小值 m 和最大值 M$

第二步 , 尝试构造出待证明的等式右边式子 :

$∴ m \leq f (x_{i}) \leq M, (i = 1, 2, 3 \dots, n)$

注意思考这一步怎么构造出右边式子的 :

$∴ m \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n} \leq M$

构造完成后 , 整个格式就已经符合介值定理了 , 直接使用介值定理的结论 : $在 [x_{1}, x_{n}] 上运用介值定理, 可知在 [x_{1}, x_{n}] 上必有 ξ$

$使得 f (ξ) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$

结束

这些证明题里面 , 最重要的就是构造出一个符合这些定理格式的构造函数.

因为定理是一直成立的 , 而我们的题目如果和定理的格式一样 , 说明我们的题目也是被证明为成立的.

为什么使用零点定理前要构造出一个右边为0的式子?因为零点定理结论就是右边式子为0的 ;

为什么使用介值定理前要构造出一个最小值和一个最大值?因为介值定理的格式就是 $A \leq U \leq B$

只有这样 , 我们才能够说 , 因为题目符合定理成立的一切条件 , 所以这个题目可以得到定理的结论 , 证明完毕.