数学笔记-第二章-导数

发表于 更新于 分类于 ，

导数的含义

导数是增量比的极限.

这句话揭露了导数的本质是极限, 也说明了为什么第一章要学极限, 因为导数就是极限.

导数要解决的问题

  • 用导数的定义求导
  • 复合函数求导
  • 高阶求导
  • 隐函数求导
  • 参数方程求导

用定义求导

导数的三大定义形式 : \[ f'\left(x_0\right)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x} \]

\[ f'\left(x_0\right)=\lim_{ h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h \]

\[ f'\left(x_0\right)=\lim_{ x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \]

为什么要用定义求导, 而不是直接用求导公式, 那是因为使用求导公式之前题目必须已知\(f(x)\)可导, 可导可以推出连续, 连续可以推出极限, 但是反过来却不成立. \[ 可导\rightarrow连续\rightarrow极限 \]

\[ 可导\nleftarrow连续\nleftarrow极限 \]

例如 : \[ 设f(x)在x=2处连续, 且\lim_{x\rightarrow2}\frac{f\left(x\right)}{x-2}=2, 求f'(2) \] 题目只是说了在\(x=2\)处连续, 但是连续不一定可导, 所以不能用公式, 也不能用其他方法去解决, 只能用定义.

例如 : \[ 设\varphi\left(x\right)在x=a处连续, f(x)=(x^2-a^2)\varphi\left(x\right), 求f'(x) \] 题目只是说了连续, 但是连续不一定可导, 所以只能用定义来算. \[ f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a} \]

\[ =\lim_{x\rightarrow a}\frac{\left(x^2-a^2\right)\varphi\left(x\right)-0}{x-a} \]

\[ =\lim_{x\rightarrow a}\left(x+a\right)\varphi\left(x\right) \]

\[ =2a\varphi\left(a\right) \]

可以看出, 导数与极限的关系, 导数就是极限, 也遵守极限的计算规则.

用定义解决几何问题

用定义求导的另一个出题方向是解决几何问题, 主要是解决切线方程和法线方程.

法线就是与切线垂直的线, 法线斜率与切线斜率相乘为-1

例如 : \[ 求曲线y=e^x在点(0, 1)处的切线方程和法线方程 \]

\[ \because y'(0)=e^x\vert _{x=0}=e^0=1 \]

\[ \therefore 切线方程y-1=1\cdot(x-0) \]

\[ 即x-y+1=0 \]

\[ 法线方程y-1=-\frac 11\cdot (x-0) \]

\[ 即x+y-1=0 \]

用定义解决分段函数分段点可导问题

可导的充要条件 :

\(f(x)\)在\(x_0\)处的左右导数存在且相等.

\[ 左导数:f'_-(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \]

\[ 右导数:f'_+(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \]

这种题目与当时分段函数分段点求极限的步骤基本一致.

例如 : \[ 求函数f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x, x<0\\x, x\geq0\end{array}\right., 在x=0处的导数. \]

\[ f'_-(0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^-}\frac{\Delta \sin x}{\Delta x}=1 \]

\[ f'_+(0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \]

\[ \because f'_-(0)=f'_+(0)=1 \]

\[ \therefore f'(0)=1 \]

例如 : \[ 函数f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x^2+1, 0\leq x<1\\3x-1, 1\leq x\end{array}\right., 在x=1处是否可导? \]

\[ f'_-(1)=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{x^2+1-2}{x-1}=2 \]

\[ f'_+(1)=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{3x-1-2}{x-1}=3 \]

\[ \because f'_-(1)\neq f'_+(1) \]

\[ \therefore f(x)在x=1处不可导 \]

例如 : \[ 求f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x, x<0\\\ln \left(1+x\right), x\geq0\end{array}\right., 在x=0处的导数 \]

\[ f'_-(0)=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x-0}{x-0}=1 \]

\[ f'_+(0)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln (1+x)}{x-0}=1 \]

\[ \because f'_-(0)=f'_+(0)=1 \]

\[ \therefore f'(0)=1 \]

例如 : \[ f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x, x<0\\x, x\geq 0\end{array}\right., 求f'(x) \]

\[ f'_-(0)=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\sin x}{x}=1 \]

\[ f'_+(0)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{x}{x}=1 \]

\[ f'_-(0)=f'_+(0)=1 \]

\[ \therefore f'\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\cos x, x<0\\1, x\geq0\end{array}\right. \]

求导法则(必须背诵)

基本求导公式 :

  • \((c)'=0\)
  • \(\left(x^\mu\right)'=\mu x^{\mu -1}\)
  • \((\sin x)'=\cos x\)
  • \((\cos x)'=-\sin x\)
  • \((\tan x)'=\sec^2x\)
  • \((\cot x)'=-\csc^2x\)
  • \((\sec x)'=\sec x\tan x\)
  • \((\csc x)'=-\csc x \cot x\)
  • \((a^x)'=a^x\ln a\)
  • \((e^x)'=e^x\)
  • \((\log_ax)'=\frac1{x\ln a}\)
  • \((\ln x)'=\frac 1x\)
  • \((\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)
  • \((\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)
  • \((\arctan x)'=\frac1{1+x^2}\)
  • \((arccotx)'=-\frac1{1+x^2}\)

函数的和, 差, 积, 商的求导法则 :

设\(U=u(x)\), \(V=v(x)\)可导, 则 :

  • \((U\pm V)'=U'\pm V'\)
  • \((CU)'=C\cdot U', (C为常数)\)
  • \((U\cdot V)'=U'\cdot V+U\cdot V'\)
  • \(\left(\frac UV\right)'=\frac{U'\cdot V-U\cdot V'}{V^2}, (V\neq0)\)

复合函数求导

复合函数求导公式 : \[ y=f[g(x)]在点x可导, 则其导数为 \frac{dy}{dx} = f'(u)\cdot g'(x) \] 解题步骤 :

  1. 满足运算法则的的要优先运算.
  2. 数清楚有多少个函数复合, 这是最关键一步, 数错了就全错了.
  3. 有多少个函数复合就求多少次导, 由外向内, 从左向右.
  4. 每求一次导, 就扔掉一个函数.

例如 : \[ 求函数y=\left(ln\left(tan\left(\frac x2\right)\right)\right)^3的导数 \] 第一步先数清楚有多少个函数复合, 需要严格按照由外向内, 从左到右原则, 可以看到, 从按顺序分别为\(3次方\), \(ln\), \(tan\), \(\frac x2\) 四个函数的复合, 所以计算的公式即为 : \[ y'=3\cdot 3\left(ln\left(tan\left(\frac x2\right)\right)\right)^2\cdot \frac1{\tan\left(\frac x2\right)}\cdot \sec^2\left(\frac x2\right)\cdot\frac 12 \] 有四个函数, 所以要求4次导数, 严格按照由内向外, 从左到右的原则.

例如 : \[ 求函数y=\cos(4-3x)的导数 \] 第一步先数清楚有多少个函数复合, 从左到右, 分别为\(\cos\), \(4-3x\) 这两个函数, 所以按照步骤: \[ y'=-\sin(4-3x)\cdot (4-3x)' \]

\[ =-\sin(4-3x)\cdot (-3)=3\sin(4-3x) \]

例如 : \[ 求函数y=\tan\left(x^2\right) \] 从左到右, 分别为\(\tan\), \(x^2\) 这两个,然后依次求导 : \[ y'=\sec^2(x^2)\cdot (2x)=2x\sec^2(x^2) \]