数学笔记-第一章-连续与间断
连续
连续就是指 :
函数在该点的极限值 = 函数值
这是函数连续的最重要概念.
注意 : 函数连续可以推导出函数的极限值存在 , 但是反过来 , 函数的极限值存在 , 却不能说明函数连续.
连续的充要条件
解决分段函数的分段点的连续问题
充要条件 :
如果函数在\(x_0\)处连续 , 则函数在\(x_0\)处的左右极限存在并相等 , 并且极限值等于函数值.
这句话说明了4件事情 :
如果一个函数连续 , 则 :
- 左极限存在
- 右极限存在
- 左右极限相等
- 极限值等于函数值
上面四点有任意一点不满足 , 则说明函数在该点不连续.
例如 : \[ 试证函数f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x\sin\frac1x , x\neq0\\0 , x=0\end{array}\right. \]
\[ 在x=0处连续 \]
证明 : \[ \because\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac1x=0 , 左极限存在 \]
\[ f(0)=0 , 右极限存在 \]
\[ 且\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac1x=f(0) \]
\[ \therefore f(x)在x=0处连续 \]
例如 : \[ 讨论f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+2 , x>0\\x-2 , x<0\end{array}\right.在x=0处的连续性 \]
\[ \lim_{x\rightarrow 0^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\left(x+2\right)=2 , 右极限存在 \]
\[ \lim_{x\rightarrow 0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 0^-}\left(x-2\right)=-2 , 左极限存在 \]
\[ 但是\lim_{x\rightarrow 0^+}f\left(x\right)\neq\lim_{x\rightarrow 0^-}f\left(x\right) \]
\[ \therefore f(x)在x=0处不连续 \]
例如 : \[ a取何值时 , f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\cos x , x<0\\a+x , x\geq0\end{array}\right.在x=0处连续 \]
\[ \because f(0)=a \]
\[ \lim_{x\rightarrow 0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 0^-}\cos x=1 \]
\[ \lim_{x\rightarrow 0^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow 0^+}(a+x)=a \]
\[ \therefore a=1 \]
间断
间断和连续的概念是相对的 , 不连续就是间断 , 任何一个点不满足连续的4个条件 , 都是间断点 , 而只要是没有意义的点一定是间断的.例如分母为零.
间断点的种类
第一类间断点
左右极限存在的间断点.
这句话有2个意思 :
- 这个点有左右极限.
- 这个点间断.
所以第一类间断点有两种 :
- 跳跃间断点 : 左右极限都有 , 但是两者不相等.
- 可去间断点 : 左右极限都有且相等 , 但是极限值不等于函数值.
第二类间断点
除了第一类间断点 , 剩下的都是第二类间断点.
间断点的判断
- 只要是没有意义的点 , 例如分母为零的点 , 一定是间断点.
- 当题目问某个点是哪种类型的间断点时 , 可以被消去的是第一类 , 不可被消去的是第二类.
例如 : \[ 讨论f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x , x\leq0\\1+x , x>0\end{array}\right.在x=0处的连续性 \]
\[ \lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=0 , 左极限存在 \]
\[ \lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=1 , 右极限存在 \]
\[ \because \lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\neq\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right) \]
\[ \therefore x=0为函数f(x)的跳跃间断点 \]
例如 : \[ 讨论f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt x , 0\leq x<1\\1 , x=1\\1+x , x>1\end{array}\right.在x=1处的连续性 \]
\[ \lim_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=2 \]
\[ \lim_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=2 \]
\[ \because \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\neq f(1)=1 \]
\[ \therefore x=1为函数f(x)的可去间断点 \]
再解释一下什么叫可以消去的叫第一类 , 不可以消去的叫第二类
例如 :
判断下列函数的指定点所属的间断点类型 : \[ y=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \] 上面说过 , 使得函数没有意义的点肯定是间断点 , 也就是说 , 这里要使分母为零 , 即\(x_1=1\)和\(x_2=2\)这两个点就一定是间断点.
而当\(x=1\) , 即\(x-1=0\)时 , 分子和分母都能同时约去一个\(x-1\) , 所以我们知道这个点就是第一类间断点.
又因为此点左右极限相等 , 所以\(x_1=1\)是第一类的可去间断点.
而当\(x=2\) , 即\(x-2=0\)时 , 分子和分母不能约分 , 所以是第二类间断点.
结束
下一篇写连续函数闭区间三大定理 , 溜了.